МОУ "Гимназия имени Сергия Радонежского г. Йошкар-Олы"

(в разработке)

Авторы: Гаврилов Даниил, Загайнов Иван

11 класс МОУ «Гимназия имени Сергия Радонежского г. Йошкар-Олы»

Руководитель: Зверева Т.Н.

В связи с преобразованием России из системы централизованного планирования в экономику рыночной ориентации экономические знания стали необходимыми как в профессиональной сфере, так и в повседневной жизни. Сегодня жизнь настоятельно требует, чтобы выпускник имел развитое экономическое мышление и был готов к жизни в условиях рыночных отношений.

Эффективному постижению азов экономики поможет решение задач, в содержании которых идет речь о процентах. Решение многих задач школьного курса, нестандартных задач, практических задач помогает разобраться в новых экономических веяниях жизни.

Учащихся при подходе к итоговой аттестации в 11-х классах сталкиваются с проблемой решения задач на проценты, а они есть в ЕГЭ. На данный момент я являюсь учеником 11 класса. Как и многим другим учащимся, мне предстоит сдать ЕГЭ. Ещё с 10 класса я был ознакомлен с заданиями данного экзамена. Среди них оказались задачи экономической направленности повышенного уровня сложности, которые в курсе старшей общеобразовательной школы не рассматриваются. Для меня стал актуален вопрос: каким образом подойти к решению таких задач?

Актуальность: необходимо решать экономические задачи при сдаче ЕГЭ, за это задание можно получить 2 первичных балла. Также решение экономических задач очень полезно, так как жизнь современного человека тесно связана с финансовыми операциями.

Проблема: отсутствие навыков применения математических и экономических знаний на практике в расчетах платежей банковских кредитов и прочих операций, а также неумение и боязнь решать экономические задачи на ЕГЭ ввиду отсутствия их в школьной программе по математике.

Гипотеза: существует множество видов экономических задач и способов их решения, но их можно объединить по типам для облегчения усвоения материала.

Практическая значимость работы заключается в том, что ученики смогут использовать данный материал для подготовки к ЕГЭ по математике профильного уровня.

Работа посвящена исследованию экономических задач и выводу единой схемы для их решения.

Данная работа может представлять интерес для всех, кто сталкивается с математическими расчетами. Кроме того, при решении задачи удалось вывести общую схему решения задач, которую можно будет применять в последующих жизненных ситуациях.

Цели:

• Научиться решать экономические задачи из ЕГЭ;
• Обобщить методы решения задач с экономическим содержанием повышенного уровня сложности;
• Облегчить работу по подбору задач экономического содержания;
• Создать программу для автоматического решения экономических задач;

Задачи:

• изучить теоретические аспекты решения экономических задач;
• познакомиться с видами экономических задач из сборников для подготовки к ЕГЭ 2019, 2020, 2021, 2022, 2023 гг. и открытого банка задач по математике;
• углубить знания по теме проценты;
• рассмотреть способы решения задач;
• выявить структуру экономических задач на проценты;
• провести анализ решений;
• обобщить и систематизировать способы решения задач;

Объект исследования:

Экономические задачи на проценты повышенного уровня сложности.

Предмет исследования:

Методы решения задач на проценты повышенного уровня сложности.

Методы:

• поисковый метод с использованием научной и учебной литературы, интернета;
• исследовательский метод при определении видов задач, их решения различными способами;
• практический метод решения задач;
• анализ полученных в ходе исследования данных;
• анкетирование.

Содержание:

Глава 1. Теоретическое изучение экономических задач

Приведу результаты анкетирования, проведенного в 11 классе Гимназии имени Сергия Радонежского города Йошкар-Олы. Из 18 учеников только 5 способны решить данную экономическую задачу из ЕГЭ, что составляет 27%. Причиной неумения решать экономические задачи на ЕГЭ респонденты назвали отсутствие их в школьной программе по математике.

Именно поэтому я решил написать данный проект, который поможет учащимся подготовиться к ЕГЭ, а конкретно к задаче № 15 (2023 года).

Конечно, на различных сайтах и в математической литературе можно найти решения таких задач, но зачастую либо они содержат много лишней информации, либо они решены непонятным для меня способом. Поэтому я проанализирую различные методы и выберу самый оптимальный.

При чтении условий этой задачи из второй части единого государственного экзамена по математике профильного уровня можно встретить такие понятия, как вклады, кредиты, проценты и платежи. За решение этой задачи согласно спецификациям ЕГЭ предлагается два первичных балла.

1.1. Вклады

Вклад — денежные средства, внесённые физическим или юридическим лицом в финансовое учреждение или в предприятие на хранение, в рост или для участия в получении прибыли. Доход по вкладу выплачивается в денежной форме в виде процентов.

1.2. Проценты

Один процент – это одна сотая доля. Чтобы найти данное число процентов от числа, нужно проценты записать десятичной дробью, а затем число умножить на эту десятичную дробь.

Пример: 5% от 80 это будет 0,05×80=4

r% от 14 это будет 0,01r×14=0,14r

При решении задач необходимо понимать механизм начисления процентов по вкладам или кредитам. Например, если банк выдаёт кредит (S) клиенту, то через год клиент должен банку не только сумму кредита, но и некий процент (r). Возникает необходимость введения нового коэффициента b, b=1+0,01r. С учётом этого, долг клиента банку через год можно записать следующим образом:

S + r% от S = S + 0,01r×S = S (1 + 0,01r) = bS

1.3. Кредиты

Кредит – это деньги, предоставленные банком заемщику под определенные проценты за пользование деньгами. Для погашения кредита необходимо совершать платежи.

1.4. Платежи

В задачах по теме кредит используют три основных вида платежа:

1. Фиксированные платежи (платежи, которые чётко оговариваются в условии задачи)
2. Аннуитетные платежи (постоянные ежемесячные или ежегодные платежи, которые не меняются на протяжении всего периода кредитования)
3. Дифференцируемые платежи (ежемесячные или ежегодные платежи, уменьшающиеся к концу срока кредитования и обеспечивающие уменьшение суммы долга на одну и ту же величину)

Глава 2. Основные типы экономических задач

2.1. Задачи на кредиты с равными платежами

Вот так звучит задача этого типа:

31 декабря 2014 года Сергей взял в банке некоторую сумму в кредит под 12% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга ( то есть увеличивает долг на 12%), затем Сергей переводит в банк 3512320 рублей. Какую сумму взял Сергей в банке, если он выплатил долг тремя равными платежами ( то есть за три года)?

Рассмотрим, что происходит, когда мы кладем в банк на n лет некоторую суммуS под r% годовых: S→ S + = (1+ (r/100) ) S = (1 + 0,01r) S – сумма, которая будет на счету через год.

После второго года произойдет то же самое:

(1 + 0,01r) S → (1 + 0,01r) S + 0,01r (1 + 0,01r) S = (1 + 0,01r)²S

Через n лет, после начисления последних процентов, вклад достигнет величины, равной

(1 + 0,01r)ⁿS = qⁿS

Эту формулу называют формулой сложных процентов, q– повышающим коэффициентом или коэффициентом увеличения.

Давайте теперь возьмем кредит в размере a под r% годовых сроком на n лет.

Кредит погашается равными платежами, размером b.

Прошел год, наш долг банку увеличился на заявленные проценты, а мы платим заявленный платеж. К концу года долг перед банком будет иметь вид(1 + 0,01r)a – b.

Проходит еще год: (1+0,01r)((1+0,01r)a-b)-b = (1+0,01r)²a-(1+0,01r)b-b = (1+0,01r)²a-(1+(1+0,01r))b = q²a-(1+q)b

К концу договора мы отдаем долг полностью, его величина становится равной нулю и это равенство запишется таким образом:

qⁿa – (1 + q + q² + … + q^n-1)b = 0

Это геометрическая прогрессия, первый член которой равен 1, знаменатель q.

Напомним формулы n – ого члена и суммы первых n членов геометрической прогрессии:

b_n =b₁· q^n-1, S_n=

Тогда в нашем случае b^n-1+b^n-2 +…+b²+b+1=

Таким образом, уравнение примет вид: 

Для того, чтобы формула была понятна и легче запоминалась, введём новые обозначения:

q – %

а – «Кредит»

b – «Платёж», => таким образом формула имеет вид:

«Кредит» * %ⁿ = «платеж» * (%ⁿ – 1) / (% – 1)